Fortgeschrittene Spektralanalyse

In diesem Eintrag möchte ich zwei fortgeschrittenere Methoden der Spektralanalyse vorstellen (Welch’s Method und Multitapering), sie erläutern und Vor- und Nachteile aufführen und abschließend bemerken, in welcher Situation welche besser geeignet ist.

Welch’s Method:

Welch’s Method dient der Reduzierung unerwünschter Störgeräusche in der digitalen Signalverarbeitung. Diese möchte man natürlich aus seinen Messungen herausgefiltert haben, um das wirkliche Frequenzspektrum des Signal der aufgenommen Quelle sehen zu können.  In dieser Methode wird dazu das Fenster mit dem zu analysierenden Signal in sich überschneidende Unterfenster aufgeteilt, deren einzelne Spektren berechnet und aus diesen dann der Durchschnitt gebildet.

Im Einzelnen sieht das so aus:

1. Bildung der Unterfenster, indem eine sog. Fensterfunktion Stück für Stück über das Signal geschoben wird und mit diesem jeweils multipliziert wird. Das Ergebnis der Multiplikation bspw. bei einer halben Sinuskurve als Fensterfunktion, die an den Rändern ansonsten 0 ist, ein Auschnitt aus dem ursprünglichen Signal, und 0 an den Rändern und dem Rest.

2. Aus diesem Ausschnitt wird das Frequenzspektrum errechnet (Fourier-Transformation).

3. Die Fensterfunktion wird weitergeschoben, weiter bei 1. Wichtig ist, dass sich die Unterfenster überlappen.

4. Am Ende werden die Werte aus den einzelnen errechneten Frequenzspektren gemittelt.

Vorteile der Methode:

– eine Folge des Mittelns ist, dass das Spektrum „glatter“ wird, d.h. kleine Ausreißer entfernt werden
– deshalb werden auch Störgeräusche reduziert

Nachteile:

– die Frequenzselektivität wird verringert
– Leck-Effekt steigt (d.h. Frequenzen werden künstlich addiert, die gar nicht im Signal vorhanden waren)

Multitapering:

Diese Methode ist ähnlich zu Welch’s Method. Es werden aber keine Unterfenster gebildet, sondern es wird das gesamte Signal mit einer Menge verschiedener orthogonaler Funktionen multipliziert, und anschließend werden die Teilergebnisse wieder gemittelt. Bei jeder dieser Funktionen spricht man von einem „taper“ (Kegel).

Vorteile:

– auch hier werden Störgeräusche reduziert
– der Leck-Effekt wird wesentlich reduziert (d.h., Frequenzen werden durch die Fouriertransformation kaum künstlich hinzugefügt)
– schwache Effekte, die in einem breiteren Frequenzband auftreten, werden konzentriert und verstärkt

Nachteile:

– auch hier wird die Frequenzselektivität verringert
– Spitzen in einzelnen Frequenzen können nicht entdeckt werden
– für die Analyse tiefer Frequenzen weniger geeignet

Welche Methode ist nun wann von Vorteil?

Welch’s Method kann einzelne Frequenzspitzen erkennen, Multitapering nicht.
Multitapering reduziert den Leckeffekt, anstatt ihn wie Welch’s Method zu erzeugen. Außerdem ist Multitapering optimal, um schwache breitbandige Phänomene in der Anwesenheit von Rauschen ausfindbar zu machen.